刑事诉讼案件中应当回避而没有回避的人，公诉人是对其提起“申请回避”还是“要求回避”？

应该是提出纠正违法意见，并且是书面提出。《人民检察院刑事诉讼规则（试行）》第五百七十七条审判活动监督主要发现和纠正以下违法行为：
（一）人民对刑事案件的受理违反管辖规定的；
（二）人民法院审理案件违反法定审理和送达期限的；
（三）法庭组成人员不符合法律规定，或者违反规定应当回避而不回避的；
（四）法庭审理案件违反法定程序的；
（五）侵犯当事人和其他诉讼参与人的诉讼权利和其他合法权利的；
（六）法庭审理时对有关程序问题所作的决定违反法律规定的；
（七）二审违反法律规定裁定发回重审的；
（八）故意毁弃、篡改、隐匿、伪造、偷换证据或者其他诉讼材料，或者依据未经法定程序调查、质证的证据定案的；
（九）依法应当调查收集相关证据而不收集的；
（十）徇私枉法，故意违背事实和法律作枉法裁判的；（十一）收受、索取当事人及其近亲属或者其委托的律师等人财物或者其他利益的；（十二）违反法律规定采取强制措施或者采取强制措施法定期限届满，不予释放、解除或者变更的；（十三）应当退还取保候审保证金不退还的；（十四）对与案件无关的财物采取查封、扣押、冻结措施，或者应当解除查封、扣押、冻结不解除的；（十五）、挪用、私分、调换、违反规定使用查封、扣押、冻结的财物及其孳息的；（十六）其他违反法律规定的审理程序的行为。第五百八十条人民检察院在审判活动监督中，如果发现人民或者审判人员审理案件违反法律规定的诉讼程序，应当向人民提出纠正意见。出席法庭的检察人员发现法庭审判违反法律规定的诉讼程序，应当在休庭后及时向检察长报告。人民检察院对违反程序的庭审活动提出纠正意见，应当由人民检察院在庭审后提出。