【法律意见】
可以。当事人的家人被人打伤,鉴定为轻伤一级,公安不抓人,可能对方属于属于正当防卫,不负刑事责任。
【法律依据】
第二十条
【正当防卫】为了使国家、公共利益、本人或者他人的人身、财产和其他权利免受正在进行的不法侵害,而采取的制止不法侵害的行为,对不法侵害人造成损害的,属于正当防卫,不负刑事责任。
正当防卫明显超过必要限度造成重大损害的,应当负刑事责任,但是应当减轻或者免除处罚。
对正在进行行凶、杀人、抢劫、、绑架以及其他严重危及人身安全的暴力犯罪,采取防卫行为,造成不法侵害人伤亡的,不属于防卫过当,不负刑事责任。