1.涉嫌妨碍公务罪的,刑事拘留最长37天。
2.根据《刑事诉讼法》的规定,公安机关对被拘留的人,认为需要逮捕的,应当在拘留后的三日以内,提请人民检察院审查批准。在特殊情况下,提请审查批准的时间可以延长一日至四日。对于流窜作案、多次作案、结伙作案的重大嫌疑分子,提请审查批准的时间可以延长至三十日。而检察院则应该在接到公安机关提请批准逮捕书后的七日以内,作出批准逮捕或者不批准逮捕的决定。
所以,刑事拘留最长可以是37天,在此期限内,如果经检察院批捕的,则执行逮捕;如果不批捕的,则可由公安机关视情况变更强制措施,或撤销刑事立案,予以无罪释放。