对方肇事逃逸，交警队出了责任书，对方又去市交警支队复核，这肇事司机都一个月多了也没被拘留，这是合法的吗？

可以到主管部门投诉。
《道路交通事故处理程序规定》
第二节　复　　核
　　第五十一条　当事人对道路交通事故认定有异议的，可以自道路交通事故认定书送达之日起三日内，向上一级公安机关交通管理部门提出书面复核申请。
　　复核申请应当载明复核请求及其理由和主要证据。
　　第五十二条　上一级公安机关交通管理部门收到当事人书面复核申请后五日内，应当作出是否受理决定。有下列情形之一的，复核申请不予受理，并书面通知当事人。
　　
（一）任何一方当事人向人民法院提起诉讼并经法院受理的；
　　
（二）人民检察院对交通肇事犯罪嫌疑人批准逮捕的；
　　
（三）适用简易程序处理的道路交通事故；
　　
（四）车辆在道路以外通行时发生的事故。
　　公安机关交通管理部门受理复核申请的，应当书面通知各方当事人。

需要看是否构成刑事犯罪

需要等复核结果。