当用人单位在未签劳动合同的第8个月才开始为劳动者购买五险时,劳动者有权利主张相应的赔偿。从用工之日起,只要超过一个月但不满一年还未与劳动者订立书面劳动合同,用人单位就应当每月向劳动者支付二倍的工资。这是为了弥补劳动者因未签合同而可能遭受的损失,督促用人单位及时签订合同。同时,如果用人单位未依法为劳动者缴纳社会保险费,劳动者有权解除劳动合同。并且,劳动者可以要求用人单位支付经济补偿。经济补偿的计算方式是,按照劳动者在本单位工作的年限来确定,每满一年就支付一个月工资的标准。如果工作年限在六个月以上不满一年,就按一年计算;要是不满六个月,就向劳动者支付半个月工资的经济补偿。劳动者在面对这种情况时,不要慌张,可以通过劳动仲裁等合法途径来维护自身的合法权益。劳动仲裁机构会根据相关法律法规和实际情况,对劳动者的主张进行公正的裁决,保障劳动者的合法权益。