我醉酒驾驶自家车，被交警支队抓到了

交警支队能处理违章。
交通违章的处理方法：
车辆违章如果被交警当场开处罚决定书，就要带着身份证、驾驶证以及车辆行驶证和处罚单，前往当地的交通支队或大队处理违章。
如果是被电子眼拍下违章行为，没有被当场贴罚单的话，在交管局网站查询到违章记录后，如果是一般简易程序范畴，可以在异地处理；否则，就只能在违章当地的交管部门进行违章处理。
《道路交通安全违法行为处理程序规定》第十八条，对当事人处以罚款的, 应当告知当事人自收到处罚决定书之日起十五日内，到指定的代收机构缴纳罚款。当事人逾期缴纳罚款的，每日按罚款数额的百分之三加处罚款。