倘若员工在执行公务过程中遭遇伤害且企业未履行申报义务时,解决办法主要包括以下四个方面:首先,若受害者已递交工伤保险赔付申请并完备了相关资料,但公司却消极应对不予上报,此时,他们有权向劳动行政部门进行投诉,要求有关部门介入处理并尽快落实相关赔偿措施;其次,如若企业与伤员就医疗费用事宜达成了共识但随后企业却又违背承诺拒绝支付该款项,那么伤员可以考虑通过司法途径提起诉讼,请求法院发布支付令以维护自身权益;再次,当双方在争议问题上无法达成一致意见时,伤员可以选择向劳动仲裁机构提出申诉,寻求公正裁决;最后,若伤员对仲裁结果持有异议,他们还可以进一步向法院提起诉讼,通过法律手段维护自己的合法权益。