婚后由一方付首付购买，并登记在一方名义之下，如何确认房产的所有权？

1、婚后购买的房产无论登记在谁的名下，无论还贷方式如何，均可以认定为夫妻共同财产。——除非当事人有明确约定经济，可视为一方的个人财产。
2、如果在婚姻关系存续期间，始终是一人付首付且还贷，那么在离婚时，一方需要提出当时出资购房的首付的证明和每月去银行还贷的证明；若一方每月还贷，对方没有还贷，对于这一套房子对方不能主张此房屋的权利。需要注意是，一方的举证相对较难。
3、但是，若是夫妻一方的父母明确赠与夫妻一方的，那么可以确认为一方的个人财产，另一方不能主张对该房产的所有权。