代理他人办理银行业务,他只是手写一份委托书和提供了身份证复印件,这种委托书是否有法律效力银行有责任吗？

只要是委托人真实意思表示，并亲笔签字的都是有效的。在效力上来说，经过公证的委托书会更有公信力。
委托书
在诉讼中，是指委托代理人取得诉讼代理资格，为被代理人进行诉讼的证明文书，其记载的内容主要包括委托事项和代理权限，并由委托人签名或盖章。但在其他民事法律行为过程中，也可能存在有授权委托的法律文书。在，这类委托书会以契约形成，将个人的某些权力，委派于他人身上。最常见的是用于物业管理上，例如业主已移民外国，业主在港的物业，他委派一个可信的人替他管理，亦可以透过委托书要求受委托人替他将物业出租或出售。
境外当事人出具的委托书的效力
对于境外当事人出具的授权委托书，人民应当根据不同当事人的具体情况进行审查。对于自然人的，应当由其本人或者其法定监护人出具授权委托书;对于法人的，应当由其法定代表人或者有权出具授权委托书的部门或者个人出具;属于其他组织的，应当由其负责人出具。上述当事人出具的授权委托书，均应当履行公证及认证手续，否则没有法律效力。