抵押物被第三人起诉并已申请抵押物拍卖，抵押权人可否不起诉而要求提前受偿

这要看抵押物是否已经登记，已经登记的抵押物进行转让时必须通知抵押权人。法律依据《担保法》第四十九条抵押期间，抵押人转让已办理登记的抵押物的，应当通知抵押权人并告知受让人转让物已经抵押的情况；抵押人未通知抵押权人或者未告知受让人的，转让行为无效。转让抵押物的价款明显低于其价值的，抵押权人可以要求抵押人提供相应的担保；抵押人不提供的，不得转让抵押物。抵押人转让抵押物所得的价款，应当向抵押权人提前清偿所担保的债权或者向与抵押权人约定的第三人提存。超过债权数额的部分，归抵押人所有，不足部分由债务人清偿。