对方全责,我垫付医药费,我该怎么办

没有这个义务和责任，但是有抢救伤者的责任，至于医药费要双方协商解决，没有道理一定要由哪一方单独垫付，只要你尽到了在事发当时对伤者进行及时抢救的责任。
法律依据：
《道路交通事故社会救助基金管理试行办法》 第十二条　有下列情形之一时，救助基金垫付道路交通事故中受害人人身伤亡的丧葬费用、部分或者全部抢救费用：
（一）抢救费用超过交强险责任限额的；
（二）肇事机动车未参加交强险的；
（三）机动车肇事后逃逸的。
依法应当由救助基金垫付受害人丧葬费用、部分或者全部抢救费用的，由道路交通事故发生地的救助基金管理机构及时垫付。
救助基金一般垫付受害人自接受抢救之时起72小时内的抢救费用，特殊情况下超过72小时的抢救费用由医疗机构书面说明理由。具体应当按照机动车道路交通事故发生地物价部门核定的收费标准核算。
第十三条　发生本办法第十二条所列情形之一需要救助基金垫付部分或者全部抢救费用的，公安机关交通管理部门应当在3个工作日内书面通知救助基金管理机构。