对于当事人认为应当立案而检察院认为不予立案的，检察院是否应当给当事人出相关手续

一般情况下，检察院会在一个月内通知当事人。
《刑事诉讼法》第一百七十二条规定，人民检察院对于监察机关、公安机关移送起诉的案件，应当在一个月以内作出决定，重大、复杂的案件，可以延长十五日；犯罪嫌疑人认罪认罚，符合速裁程序适用条件的，应当在十日以内作出决定，对可能判处的有期徒刑超过一年的，可以延长至十五日。
人民检察院审查起诉的案件，改变管辖的，从改变后的人民检察院收到案件之日起计算审查起诉期限。

如果人民检察院审查公安机关说明不立案的理由，认为确实不符合法律规定的立案条件，应当由控告申诉部门在十日内将不立案的理由和根据告知被害人，并做好解释和说服工作。你也可以提起自诉。