能够通过放弃孩子抚养权逃避支付抚养费用吗

结论：不能。
解析：
不能够通过放弃孩子抚养权逃避支付抚养费。
我国法律规定，离婚后，子女由一方直接抚养的，另一方应当负担部分或者全部抚养费。
父母与子女间的关系，不因父母离婚而消除。
离婚后，子女无论由父或者母直接抚养，仍是父母双方的子女。
法律依据：
《中华人民共和国民法典》第一千零八十四条
父母与子女间的关系，不因父母离婚而消除。
离婚后，子女无论由父或者母直接抚养，仍是父母双方的子女。
离婚后，父母对于子女仍有抚养、教育、保护的权利和义务。
第一千零八十五条
离婚后，子女由一方直接抚养的，另一方应当负担部分或者全部抚养费。
负担费用的多少和期限的长短，由双方协议；
协议不成的，由人民法院判决。