公安机关可以立案侦查诽谤罪吗

解析：
公安机关在法律框架内行使侦查权来调查诽谤刑事犯罪属合法行为。一般的情况下，诽谤罪属于仅可由受害者提出诉讼请求方能处理的案件，然而对于那些可能严重破坏社会公共秩序以及明显危害到国家根本利益的诽谤行为，则应当另当别论。这类严重危害社会公共秩序及国家根本利益的诽谤案，应当交由公安机关立案勘查，然后由人民检察院代表国家提起诉讼。
法律依据：
《刑法》第二百四十六条
【侮辱罪】【诽谤罪】以暴力或者其他方法公然侮辱他人或者捏造事实诽谤他人，情节严重的，处三年以下有期徒刑、拘役、管制或者剥夺政治权利。
前款罪，告诉的才处理，但是严重危害社会秩序和国家利益的除外。
通过信息网络实施第一款规定的行为，被害人向人民法院告诉，但提供证据确有困难的，人民法院可以要求公安机关提供协助。