在处理刑事案件过程中,关于延长办案期限的申请审批权掌握在哪些权威机构手里会因为案件所处的阶段以及具体情况而有所差异。例如,在侦查阶段,当犯罪嫌疑人被捕之后,侦查羁押期限的延长通常需要得到县级以上公安机关负责人的批准;然而,倘若案件情况错综复杂且期限已到仍无法结案,那么经过上级人民检察院的批准便可以进一步延长。至于审查起诉阶段,若有必要延长审查起诉期限,则应获得检察长的批准。进入审判阶段后,若需延长审理期限,则应由本院院长批准;但若是由高级人民法院负责审理的案件,则需要延长审理期限时,就得由最高人民法院进行批准了。总而言之,任何试图延长办案期限的行为都必须严格遵守相关法律规定,并且必须经过相应的有权机构进行批准。