父母留下的遗产应由谁来继承

法律分析：
（1）遗产继承方式主要有法定继承和遗嘱继承两种。若存在合法有效的遗嘱，遗产将按照遗嘱指定进行分配，遗嘱人可指定一人或多人继承部分或全部遗产。
（2）在没有遗嘱的情况下，适用法定继承。法定继承人分为两个顺序，第一顺序为配偶、子女、父母；第二顺序为兄弟姐妹、祖父母、外祖父母。继承开始后，先由第一顺序继承人继承，若没有第一顺序继承人，才由第二顺序继承人继承。
（3）子女涵盖婚生子女、非婚生子女、养子女和有扶养关系的继子女；父母包含生父母、养父母和有扶养关系的继父母。
（4）同一顺序继承人通常均等分配遗产，但对于生活困难且缺乏劳动能力的继承人、尽主要扶养义务或与被继承人共同生活的继承人，可适当多分；有扶养能力和条件却不尽扶养义务的继承人，应不分或少分。

提醒：
处理遗产继承时，应确保遗嘱合法有效。法定继承中，各继承人应遵循公平原则，若对继承份额有争议，建议咨询专业意见。

（一）在处理父母遗产继承时，首先需要确认是否存在合法有效的遗嘱。若有，应该按照遗嘱指定的继承人范围、份额等进行遗产分配。可以对遗嘱进行公证，以保证遗嘱的真实性和有效性，避免后续纠纷。

（二）若没有遗嘱，则启动法定继承程序。明确各顺序法定继承人范围，如子女涵盖多种类型，父母也有不同情况。同时，要关注各类继承人是否符合同一顺序继承人多分、少分或不分的情形，合理分配遗产。

法律依据：
《中华人民共和国民法典》第一千一百三十条规定，同一顺序继承人继承遗产的份额，一般应当均等。对生活有特殊困难又缺乏劳动能力的继承人，分配遗产时，应当予以照顾。对被继承人尽了主要扶养义务或者与被继承人共同生活的继承人，分配遗产时，可以多分。有扶养能力和有扶养条件的继承人，不尽扶养义务的，分配遗产时，应当不分或者少分。继承人协商同意的，也可以不均等。

1.遗产继承有两种方式，有合法有效遗嘱的，按遗嘱指定的一人或数人继承部分或全部遗产。
2.没有遗嘱就按法定继承。第一顺序继承人是配偶、子女、父母；第二顺序是兄弟姐妹、祖父母、外祖父母。先由第一顺序继承，没有第一顺序的，由第二顺序继承。
3.子女、父母包含多种情况。同一顺序一般均分，但特殊困难且缺劳动能力、尽主要扶养义务或共同生活的可多分，有能力却不尽义务的应少分或不分。

结论：
父母遗产继承有法定继承和遗嘱继承两种方式，有合法有效遗嘱按遗嘱继承，无遗嘱则按法定继承。
法律解析：
根据《中华人民共和国民法典》规定，遗嘱继承优先于法定继承。若存在合法有效的遗嘱，遗产会按照遗嘱指定的继承人来继承，被指定的继承人可以是一人或数人，能继承部分或全部遗产。而在没有遗嘱的情况下，就适用法定继承。法定继承有明确的顺序，第一顺序为配偶、子女、父母，第二顺序是兄弟姐妹、祖父母、外祖父母。继承开始时，先由第一顺序继承人继承，第二顺序不参与；若没有第一顺序继承人，才由第二顺序继承人继承。这里的子女涵盖婚生、非婚生、养子女和有扶养关系的继子女，父母包含生父母、养父母和有扶养关系的继父母。同一顺序继承人通常均等分配遗产，但对于生活有特殊困难又缺乏劳动能力的、尽了主要扶养义务或与被继承人共同生活的继承人可多分；有扶养能力和条件却不尽扶养义务的，应不分或少分。如果在遗产继承方面有任何疑问，欢迎向专业法律人士咨询。