结论:猫咬伤你家人,猫主人要承担赔偿责任,打疫苗的合理费用他应当报销。
按照民法典,饲养的动物造成他人损害的,动物饲养人或者管理人承担侵权责任,除非他能证明是你家人故意挑逗、激怒猫才被咬。你说得很清楚,家人只是正常晒衣服、摸了一下,没有激怒和挑逗,那猫主人就不能免责。咬伤后去打狂犬病疫苗,这是必须且合理的医疗支出,理应由猫主人承担。
好在你有录音,对方说过“你们自己去打他报销”,这等于他认可了报销这件事,是很好的证据。后续操作:保留好病历、疫苗发票、缴费凭证和那段录音;先和对方客气协商,把票据给他让他履行承诺;如果他反悔不付,可以找社区调解,或者向法院起诉,案子不大但证据扎实,你这边胜算很高。别因为金额不大就忍了,该报销的就得报销。