我跟男朋友吵架他把我手机砸了能不能到法院告他让他赔

可以。
首先，没有借条并不影响权利人向法院提起诉讼，只是没有借条可能会影响到诉讼结果是否能够成功的问题。
其次，借条作为借款关系存在的重要书证，是债权凭证，但不是唯一的证据。出借人在没有借条的情况下，可以通过借贷双方就借款沟通的短信记录、微信或其他聊天软件的聊天记录、通话录音、银行转账凭证、证人证言等证据证明借款关系的存在，各证据之间形成证据链的，法院会判决借贷关系存在。