两代单亲家庭带个小男孩，父亲长病欠的负债累累

可以的，只要父母双方协商一致，即可申请办理未婚子女投靠母亲迁移户口。以山西省为例，根据《山西省常住户口登记管理规定》：
第六十八条符合以下情形之一的，公民可以申请投靠迁移：
(一)父母投靠其成年子女的，不受年龄限制
(二)未婚子女、离异子女投靠父母的
(三)夫妻投靠的，不受婚龄限制。第六十九条公民申请投靠迁移，应当提交以下材料：
(一)投靠人和被投靠人居民户口簿、居民身份证
(二)被投靠人的房屋产权证或宅基地使用权证
(三)家庭成员身份及相互关系证明
(四)夫妻投靠的需提供结婚证，未婚子女投靠父母的需提供未婚证明，离异子女投靠父母的需提供离婚证或者法院判决书。
(五)农村地区的投靠迁移需提供乡级人民政府和村委会出具的同意接收证明。