双方吵架引起纠纷派出所应该怎么样处理？

可能会不处理。
《治安管理处罚法》第九条具体内容为“对于因民间纠纷引起的打架斗殴或者损毁他人财物等违反治安管理行为，情节较轻的，公安机关可以调解处理。经公安机关调解，当事人达成协议的，不予处罚，经调解未达成协议或者达成协议后不履行的，公安机关应当依照本法的规定对违反治安管理行为人给予处罚，并告知当事人可以就民事争议依法向人民提起民事诉讼。”
《治安管理处罚法》第九条设定的调解，从理论上讲，属于授权性规范，不是义务性规定，法律授权公安机关视民间纠纷的情况选择调解或移送调解或不调解。因此，民间纠纷的调解不是公安机关的法定义务。