监督立案申请被驳回怎么办

解析：
若监督立案请求遭到驳回，可采取下列措施进行维权：
其中之一是对于民事案件，如您向市检察院提交监督申请且该申请遭到否定裁决后，您享有在上诉期间提起上诉的权利。
在市检察院接到此类申请后需在七个工作日之内根据实际情况作出相应处理：
倘若不服同级别或其下级人民法院执行的民事判决及裁定，将此案移送至本院的民事行政检察部门进行审查和处理；若下级人民检察院具有抗诉权力，则转由下级人民检察院进行审查与处理；但若依据法律规定本应由人民法院或其他相关机构进行管辖的，则应移交人民法院或其他相关部门进行处理。
由此可见，相关机构对于家属权益具有高度关注。
关于立案监督问题，如果您在向检察院寻求立案监督帮助未获得支持的情况下，当事人有权向负责本院检务督察事务的部门进行反映。
当人民检察机关发现公安机关对于应当展开刑事调查并予立案的案件却没有立案侦查时，检察院有权要求公安机关解释未进行立案侦查的原因。
倘若人民检察院认为公安机关所陈述的不立案缘由无法成立，那么他们必须通知公安机关进行立案工作。
这样的程序设计为广大市民维护合法权益提供了坚强保障。
对于行政诉讼案件，如果您的行政诉讼申请再审遭遇驳回，您可以向上达高人民检察院提出抗诉申请。
这种方式主要针对以下三种情形：
人民法院否定再审申请；人民法院未能在法定时间内就再审申请作出裁定时；以及再审判决、裁定存在严重错误。
民商事检察部门对于下级人民检察院在审理过程中做出不支持监督申请的决定在经过全面审查后，若认定这种决定存在错误，应有权代表人民检察院对其予以撤销并依法提请抗诉。
倘若认为不存在错误，应当决定复查维持原判，并需编制《复查决定书》，将其发送给申请人。
对于各级人民检察院之间已发生法律效力的民商事判决、裁定、调解书，上级人民检察院同样可行使其职权，对下级人民检察院作出不支持监督申请判决的案件进行复查以维护司法公正。
以上各项措施可以根据具体案情需要选择适宜的解决方案进行操作。
法律依据：
《刑事诉讼法》第一百一十三条
人民检察院认为公安机关对应当立案侦查的案件而不立案侦查的，或者被害人认为公安机关对应当立案侦查的案件而不立案侦查，向人民检察院提出的，人民检察院应当要求公安机关说明不立案的理由。人民检察院认为公安机关不立案理由不能成立的，应当通知公安机关立案，公安机关接到通知后应当立案。