公安机关侦查期限最长是多久

解析：
常规状况下，在对被指控涉嫌犯罪的人员进行逮捕之后，其刑事诉讼的调查拘留期最长期限可达两个月。
然而针对那些案件情况较为复杂且待处理事项在期满之后依然无法全部解决完成的特殊案例，这类案件在经过上级人民检察院的慎重考虑和批准之后，可以将拘留期延长至一个月。
而对于那些涉及到重大犯罪团伙的案件，若在上述规定的时间范围内仍未能完成调查工作并得出结论，那么在得到省级、自治区以及直辖市人民检察院的批准或决定之后，可以将拘留期再延长两个月。
法律依据：
《刑事诉讼法》第一百五十六条
对犯罪嫌疑人逮捕后的侦查羁押期限不得超过二个月。
案情复杂、期限届满不能终结的案件，可以经上一级人民检察院批准延长一个月。
第一百五十八条
下列案件在本法第一百五十六条规定的期限届满不能侦查终结的，经省、自治区、直辖市人民检察院批准或者决定，可以延长二个月：
（一）交通十分不便的边远地区的重大复杂案件；
（二）重大的犯罪集团案件；
（三）流窜作案的重大复杂案件；
（四）犯罪涉及面广，取证困难的重大复杂案件。