解析：
在接受上海市监管部门委托的情况下，律所以律师身份进入监管场所会见犯人时，主要可执行如下重要任务：
首先，深入了解刑事被告或被指控者案情进展，详细倾听他们的陈述及辩护意见；
其次，为他们提供专业的法律咨询服务，详细解读相关法律法规；
再次，协助他们制定有效的辩护策略，并指导他们如何正确行使诉讼权利；
最后，负责将与案件相关的文件或物品安全送达给当事人，同时，确保他们的合法权益得到充分保障，防止任何形式的刑讯逼供等违法行为发生。
法律依据：
《中华人民共和国刑事诉讼法》第三十九条
辩护律师可以同在押的犯罪嫌疑人、被告人会见和通信。其他辩护人经人民法院、人民检察院许可，也可以同在押的犯罪嫌疑人、被告人会见和通信。辩护律师持律师执业证书、律师事务所证明和委托书或者法律援助公函要求会见在押的犯罪嫌疑人、被告人的，看守所应当及时安排会见，至迟不得超过四十八小时
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