公安机关的刑事拘留最长多少天

解析：
通常情况下，公安机关对涉嫌违法行为的犯罪嫌疑人实施的刑事拘留期限最长可达三十个自然日。
然而，在特殊情形下，例如，由于需要上报并获得批准逮捕的程序，或者案件情节较为复杂，经过上级人民检察院的核准，拘留期限得以延长，最大延长期限可增至四日。针对那些流窜多地多次作案、或是组成团伙共同作案的严重犯罪嫌疑人，其拘留期限可以依法延长至最多三十七个自然日。
法律依据：
《中华人民共和国刑事诉讼法》第八十九条：
公安机关对被拘留的人，认为需要逮捕的，应当在拘留后的三日以内，提请人民检察院审查批准。在特殊情况下，提请审查批准的时间可以延长一日至四日。
对于流窜作案、多次作案、结伙作案的重大嫌疑分子，提请审查批准的时间可以延长至三十日。
人民检察院应当自接到公安机关提请批准逮捕书后的七日以内，作出批准逮捕或者不批准逮捕的决定。