私人医院保险公司不赔如何申请仲裁

解析：
依据《中华人民共和国保险法》所明确规定，被保险人可向保险公司递交书面形式的理赔申请。
然而，当保险公司继续拒绝支付任何补偿或未就赔偿金额与被保险人达成共识时，被保险人则具有向其所在城市的保险监管部门或仲裁机构提起仲裁之权。在仲裁这一环节中，双方当事人皆享有提出证据以及进行辩护言论的合法权益，仲裁机构将严格遵循法律条款和实际情况来作出公平合理的裁决。
法律依据：
《中华人民共和国保险法》第五章第四十条规定：“被保险人认为保险公司不应当拒绝承担赔偿责任的，可以向保险公司提出书面的索赔申请。保险公司应当在接到索赔申请后及时作出核定并支付赔偿金。被保险人对保险公司核定的赔偿数额有异议的，可以协商解决。协商不成的，可以向保险公司所在地的保险监管机构或者仲裁机构申请仲裁。”