应当是判处一个月的拘役而不是拘留。刑事拘留并不是一种刑罚,只是一种强制措施而已。醉驾应当予以行政罚款,但同时被追究刑事责任的,行政罚款可以抵冲人民法院判处的罚金。罚金交给人民法院,应当在判决指定的期限内缴纳。
法条链接:《刑法》第五十三条 【罚金的缴纳、减免】
罚金在判决指定的期限内一次或者分期缴纳。期满不缴纳的,强制缴纳。对于不能全部缴纳罚金的,人民法院在任何时候发现被执行人有可以执行的财产,应当随时追缴。
由于遭遇不能抗拒的灾祸等原因缴纳确实有困难的,经人民法院裁定,可以延期缴纳、酌情减少或者免除。