银行将客户抵押给银行的房产证遗失该负什么责任

可以查封的。根据最高人民法院《关于人民执行工作若干问题的规定（试行）》第40条规定：
人民法院对被执行人所有的其他人享有抵押权、质押权或留置权的财产，可以采取查封、扣押措施。财产拍卖、变卖后所得价款，应当在抵押权人、质押权人或留置权人优先受偿后，其余额部分用于清偿申请执行人的债权。
综上，对银行享有抵押权的房产在执行中有权进行查封、扣押，也可以采取拍卖、变卖措施；但拍卖、变卖所得价款，必须首先清偿银行已经设定了抵押的债权，其余额部分再用于清偿申请执行人的债权。