首先，你可以申请赔偿，但赔偿额度不高。
估计额：入职未签订劳动合同可以提出双倍工资的赔偿要求，另外可以让原公司给予补交欠缴的一个月社保。
其次，索赔流程及证据：你可以先到当地的劳动与社会保障局申请仲裁，相关证据仲裁庭会调取公司的账务记录，不用你自己征集。对仲裁结果不满意的可以提交当地法院审理。
我觉得，一旦提交仲裁，只要司法部门一介入，原公司就会胆儿怯，一般仲裁庭会让你们双方协商解决。你可以提出双倍工资要求，及社保补缴。数额不算太大一般公司都会接受。
如果协商失败，根据你的情况估计也提供不出什么证据来，当然最起码的人证我相信你会有的。根据相关规定，工资单，工资发放表，考勤表是需要单位提供的，不需要你提供，当然如上证据都要有你个人的签字，如果你本人没有签字，你可以不承认以上证据，仲裁庭就会考虑你的语言表述，还是建议你到劳动局咨询，这是免费的，并且比一般的律师要专业的多。
上面内容可以作为入职培训后还没签合同的参考。
律图审稿专业委员会3轮严审
律师