构成故意伤害罪但不被起诉的情况有哪些

解析：
在特定的情况之下，即便犯罪行为构成了故意伤害罪，但仍有可能不必承受法律责任。例如，假如犯罪嫌疑人能够与遭受侵害的受害者协商并达成和解协议，对受害人进行经济补偿以弥补其所受到的损失，并且受害者能给予书面谅解，则根据检察机关的刑事和解政策，检察院可以考虑对此类案件不予提起公诉。除此之外，倘若伤害行为的情节相对较轻，对社会造成的危害程度有限，那么依据《中华人民共和国刑法》第十三条的相关规定，该行为将不被视为犯罪。
法律依据：
《中华人民共和国刑事诉讼法》第一百七十七条
犯罪嫌疑人没有犯罪事实，或者有本法第十六条规定的情形之一的，人民检察院应当作出不起诉决定。
对于犯罪情节轻微，依照刑法规定不需要判处刑罚或者免除刑罚的，人民检察院可以作出不起诉决定。
人民检察院决定不起诉的案件，应当同时对侦查中查封、扣押、冻结的财物解除查封、扣押、冻结。对被不起诉人需要给予行政处罚、处分或者需要没收其违法所得的，人民检察院应当提出检察意见，移送有关主管机关处理。有关主管机关应当将处理结果及时通知人民检察院。