首先,尽量收集事故相关的证据,你可以尝试联系出租车司机,告知对方你的身体状况和检查结果,看当时出租车司机和私家车司机是否有交换保险等信息。如果出租车司机不配合或者无法提供帮助,你可以考虑联系交警部门,向他们说明事故的情况和你后续的症状,询问是否可以调取事故相关的记录,通过交警部门找到私家车车主的联系方式和保险信息。在获取对方保险信息后,你可以与对方的保险公司联系,说明事故经过以及你的受伤情况,提出理赔申请。如果理赔过程出现问题或者双方无法协商一致,也可以考虑咨询律师,通过法律途径维护自己的权益。