首先你公司的做法存在违法情形,应当在劳动者入职后一个月内签订劳动合同。
其次,员工违反公司劳动纪律,
首先批评教育,如不改正,可约定保证期间,如果到期仍不见效,单位可通知劳动者解除劳动合同,并不发给经济补偿金。
最后,根据你说的情况,该员工应该还在试用期,试用期内可根据员工违反单位规章制度的情形解除劳动合同,同样不发给经济补偿金。
劳动合同法 第三十九条 劳动者有下列情形之一的,用人单位可以解除劳动合同:
(一)在试用期间被证明不符合录用条件的;
(二)严重违反用人单位的规章制度的;
(三)严重失职,营私舞弊,给用人单位造成重大损害的;
(四)劳动者同时与其他用人单位建立劳动关系,对完成本单位的工作任务造成严重影响,或者经用人单位提出,拒不改正的;
(五)因本法第二十六条第一款第一项规定的情形致使劳动合同无效的;
(六)被依法追究刑事责任的。