合同违约过程中所应承担的法律责任主要涉及四个方面:持续履行义务、实施补救措施、进行经济补偿以及承担违约罚金。首先,持续履行义务是指要求违约方根据合同预定,继续完成其法定的义务。其次,实施补救措施是指针对合同履行过程中出现的瑕疵部分,譬如质量不符规定的标的物,可以采取修补、替换等方法。再者,经济补偿是为了填补守约方由于违约行为所导致的实际经济损失,这其中涵盖了直接损失与期待利益的损失。最后,违约罚金则是双方在订立合同时预先商定好的违约金额或计算方式。然而,这些责任的实际承担方式需要依据合同约定以及法律法规,并且要结合违约行为的具体情况及其产生的影响进行综合判断。倘若合同对于违约责任的具体分配缺乏明确约定,可以参照相关的法律规范以及行规惯例加以确定。总的来说,违约方应当承担的法律责任是为了确保守约方的合法权益受到保护、维护合同的严谨性以及市场交易的公正有序。