“写明申请55岁或60岁退休”这里的60岁需要哪些条件？是个人与学校双方的？还是只需要个人单方面的诉求就行？

不需要交到60岁。
退休后，职工未交完的医疗保险，可以一次性交足。
基本医疗保险的累计缴费年限男满25年，女满20年的，每月缴纳3元大额医疗互助资金，可以享受与城镇用人单位退休人员相同的医疗保险待遇，建立个人账户。
退休时累计缴纳基本医疗保险费不足年限的，按退休时上一年本市职工月平均工资的7％，以现金形式一次性补足不足年限。自补足的次月起享受退休人员的医疗保险待遇。