你好，我入职一家新公司，刚工作满半个月，公司老板以我工作能力不行，无预警直接将我辞退。公司是一家新公司，我入职的时候刚刚办理下来营业执照，公章还没有办理下来，所以没有和我签订劳动合同，这种情况下我能申请半个月的经济补偿金吗？

你首先不应先考虑赔偿的问题，你应先考虑如何证明你的入职时间，你需要搜集能够证明你入职日期的相关证据，入职表格，档案、工友证词、与企业领导的对话录音、如果对方是使用工资卡发放工资的，你可以使身份证调出你工资卡的资金出入记录，上面应该会有对方财务账号，这也可以证明你领了多久的工资。为什么这么复杂，因为你要主张双倍工资，就需要能够客观证明你在该企业到底工作了多久，只有这个能证明了才是主张双倍工资的时候。
证据齐全后你可以到当地劳动和社会保障局，提请对方帮助你维护合法权益。主张工作期限内的、双倍工资。
司法依据《劳动合同法》82条、用人单位超过一个月未满一年未与劳动者签订书面合同，应向劳动者支付每月双倍工资。
另外，根据《社会保险法》的规定，企业给劳动者缴纳社会保险系法定义务，如果在你入职期间，对方未给你缴纳社会保险，你也可以主张其补缴你入职到你离职期间的社会保险。
至于经济补偿，你未陈明公司辞退理由，故无法给予具体建议，但你可以参照《劳动合同法》46条的规定，