解析:
当犯罪嫌疑人因涉嫌犯受贿罪而遭到拘捕以后,依据我国《刑事诉讼法》中的相关规定,他们将有可能在看守所内被最多关押37天之久,这个时间范围涵盖了公安机关的侦查阶段(最长可达30天)以及检察院的审查批捕阶段(最长为7天)。若在此期间内需要对侦查羁押期限进行延长,则必须经过上级部门的批准方可执行。
法律依据:
《中华人民共和国刑事诉讼法》第八十九条
公安机关对被拘留的人,认为需要逮捕的,应当在拘留后的三日以内,提请人民检察院审查批准。在特殊情况下,提请审查批准的时间可以延长一日至四日。对于流窜作案、多次作案、结伙作案的重大嫌疑分子,提请审查批准的时间可以延长至三十日。人民检察院应当自接到公安机关提请批准逮捕书后的七日以内,作出批准逮捕或者不批准逮捕的决定。