在遇到此类情形时,首要之务便是确定员工拒绝续订合同背后的真正缘由,并对相关的沟通过程进行详实保留。若有员工明确表示不愿再续签合同却仍旧继续为企业提供服务,作为用人方,应当迅速采取书面形式向员工传达信息,清晰阐述双方在各自义务和权利方面的具体内容。站在法律层面审视,原定劳动合同到期之后,尽管劳动者与雇主之间的劳动关系实际上仍然存在,但这并不代表着已经签署了新的劳动合同。对此,用人单位务必要保持警惕,在这段时间以内,仍然需要根据原劳动合同所约定的条款继续承担相关责任。若欲不再继续留任该名员工,则应尽快做出决策,依照法定流程解除双方的劳动关系,并支付相应的经济赔偿金。此外,对于与该员工的沟通以及处理过程中所涉及到的所有证据材料,都必须妥善保管,以备将来可能出现的劳动争议所需。